An der Disziplin “Mathematik” scheiden sich die Geister. Für mich war es immer dann spannend, wenn man durch Berechnungen nachweisen konnte, dass unser Hausverstand manchmal komplett falsch abbiegt. Sowas hat mich immer fasziniert!
Von einem dieser “Wow”-Momente möchte ich in diesem Blog schreiben:
Unter Mathematikern ist das Geburtstagsparadoxon gut bekannt. Das Szenario ist sehr einfach:
“Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Gruppe von 23 Personen, dass zumindest 2 Personen am selben Tag Geburtstag haben?”
Wenn diese Frage an eine Gruppe von Personen gestellt, entsteht meistens eine sehr intensive Diskussion: Manche schreien sofort voller Überzeugung die vermeintlich richtige Antwort raus. Andere beginnen gedankenvoll Berechnungen auf einem Papier zu kritzeln. Die Antworten schwingen sich dann zumeist in einem Bereich um die 10% Wahrscheinlichkeit für die oben gestellte Frage ein.
Dieses Ergebnis resultiert aus dem nahe liegenden Ansatz, die Anzahl der Personen (23) durch die Anzahl der Tage im Jahr (365) zu dividieren. Klingt logisch, ist aber falsch!
Der Grund für den Irrtum: Wir denken traditionell immer linear!
Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit in dem Geburtstags-Szenario erhöht sich zwar auch linear – aber nicht mit der Anzahl der Personen, sondern mit der Anzahl der Verbindungen der Personen. Und die Erhöhung der Verbindung ist je nach Anzahl der Personen unterschiedlich groß! Wenn wir zu 2 Personen eine 3.Person hinzufügen, dann kommen 3 neue Verbindungen hinzu. Wenn wir zu 17 Personen eine 18.Person hinzufügen, dann kommen 18 neue Verbindungen hinzu.
Anders gesagt: Die Anzahl der Verbindungen steigt exponentiell!
Mit diesem Verständnis nun zurück zu der Geburtstags-Frage. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für 23 Personen?
Letzte Chance für einen Tipp!
(für die Antwort scrollen Sie bitte hinunter)
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Die Antwort ist:
für 23 Personen => ~ 50% Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen am selben Tag Geburstag haben
für 50 Personen => ~ 100% Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben
Man sieht die Wahrscheinlichkeitsentwicklung in unterer Graphik von 0 bis 400 Personen. Die für die oben gestellte Frage ist die grüne Linie p(n) relevant:
Die blaue Linie q(n) würde vermutlich dem entsprechen, wie unsere Intuition entschieden hätte. Diese Linie entspricht aber der Wahrscheinlichkeit, dass 1 bestimmte Person mit einem der anderen Personen am selben Tag Geburstag hat.
Der Grund, warum wir uns so verschätzen, ist, dass unser Gehirn mit exponentiellem Wachstum schwer umgehen kann. Deswegen quetschen wir alles in ein lineares Schema und hoffen, dass das schon ungefähr passen wird.
Aber das tut es eben nicht. Alles, was mit Kombinatorik, d.h. mit der Verbindung von Komponenten untereinander zu tun, wächst von der Komplexität exponentiell. Und das macht interagierende Systeme ebenso besonders. Wir können die Einzelteile bis zum geht-nicht-mehr analysieren, doch damit haben wir nur einen kleinen Teil des gesamten Systems erfasst. Denn die Hauptkomplexität ergibt sich aus dem Zusammenspiel der Einzelteile.
Das klassische Beispiel hierfür sind soziale Systeme:
Um vollständig zu verstehen, wie Menschengruppen ticken, kann man jedes Individuum studieren. Das ist aufwendig, aber theoretisch noch machbar. Doch es hilft uns nur sehr bedingt beim Verständnis für das Systemverhalten. Denn hierfür müsste man jede bi-direktionale Verbindung analysieren. Und wie wir vorher beim Geburstags-Paradoxon gelernt haben, steigt die Anzahl dieser bi-direktionalen Verbindungen deutlich stärker (exponentiell) als die Anzahl der Personen.
Man erkennt schnell: Das Erfassen aller Details würde schnell jedes menschliche Gehirn und auch Super-Computer sprengen.
Wie können wir also mit Komplexität in sozialen Systemen umgehen?
- Der wichtigste Aspekt ist, sich der Komplexität überhaupt einmal bewusst zu werden.
Unzulässige Simplifizierungen sind oftmals kontraproduktiv, weil sie komplett in die Irre führen.
- Wir sollten lernen, genau zu beobachten, daraus Schlüsse zu ziehen und unsere Handlungen anzupassen. Der Deming-Kreis beschreibt genau diesen sich ständig wiederholenden Ablauf von Planen, Umsetzen, Überprüfen, Handeln. Im neuen digitalen Vokabular sprechen wir von “Try & Error”, „Fail Fast“ und von „Hypothesen-getriebenen Entwicklung“, im wesentlichen meint man das gleiche.
Es ist nicht absehbar, dass die Welt an Komplexität verlieren wird, noch, dass wir jemals Computer bauen werden, die für uns die Komplexität vollständig entschlüsseln können. Also, müssen wir weiter mit Überraschungen rechnen – im negativen, wie im positiven. Es geht also darum, die Komplexität demütig anzuerkennen und bereit zu sein, sich ständig weiter zu entwickeln und zu lernen.
“Wenn ich aufhöre zu lernen, bin ich tot.”
B.B. King
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